第八章 非线性控制系统分析

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EXAM NOTIFICATION
填空选择非线性控制系统的特征 3 点：

• 稳定性/输出瞬态响应：与输入信号和初始条件有关（这条可能会考）
  1. 系统输出的瞬态过程曲线形状与输入信号大小和系统初始条件有关。
  2. 系统的稳定性也与输入信号大小和初始条件有关。
• 自激振荡
• 频率响应发生畸变

需要记得公式不考

5 分大题描述函数法
把课本/课件上的例题好好看看就可以了！
判断交点处自激振荡的稳定性，求交点处频率与幅值.
只考简单的概念，没有复杂的计算.

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线性系统与非线性系统

线性系统只是在特定条件下的近似描述
能否应用叠加定理是线性系统与非线性系统的本质区别。

稳定性分析复杂: 无外力作用，且系统输出各阶导数为 0 时，系统处于平衡状态.
线性系统只有一个平衡点 y=0
非线性系统可能有多个平衡点，只不过可能是不稳定的平衡点.
可能存在自激振荡现象
频率响应发生畸变: 输出存在高次谐波（分频？)

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非线性类型：

• 饱和：设计得当可以使超调量小且稳态误差小
• 死区特性：系统存在稳态误差（稳态特性）, 降低了系统的跟踪精度（动态特性）, 减小扰动信号影响
• 滞环/间隙特性：相当于死区，降低跟踪精度. 运动变化更加剧烈，不利于稳定性.
• 继电特性：往往使系统产生震荡
  • 继电特性+滞环特性=非单值继电特性
  • 继电特性+死区特性=单值且有死区继电特性
  • a+b+c=非单值且有死区继电特性
• 摩擦：低速运动不平滑性

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非线性系统分析方法

• 存在线性工作区域：线性化处理，线性分析再修正
  • 小偏差线性化法（系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内）
  • 分段线性化法
  • 反馈线性化
• 不存在线性工作区域
  • 描述函数法
  • 相平面法
  • （课本上还有一个逆系统法）

线性系统时域分析都是初始值为零，输入阶跃信号.
非线性系统往往初始值不为零，分析无输入（只有干扰）时的情况（或者理解为观察冲激响应？)

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相平面法
$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$
$\ddot{x}=d\dot{x},\dot{x}=dx$
$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$

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相平面图的绘制

• 解析法
  • 直接积分获得$f(x,\dot{x})=0$相轨迹方程
  • 消除参变量法：消除 t
• 图解法/作图法：等倾线法
• 实验法

另外，如果分段解析的话，可分情况做出不同区域的相轨迹.

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解析法思路总结：

1. 根据$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$积分可以获得$f(x,\dot{x})=0$曲线.

   对$\dot{x}d\dot{x}=f(x,\dot{x})dx$ 进行积分时，需要注意$x,\dot{x}$都是时间的函数，左右同时积分时，积分上下限的确定：
   $t:0\to t$
   $x(t):x(0)\to x(t)$简写为$x_0\to x$
   $\dot{x}(t):\dot{x}(0)\to \dot{x}(t)$简写为${\dot{x}}_0\to \dot{x}$

2. 积分困难，可以分别求出$x(t),\dot{x}(t)$, 消去 t 画曲线

3. 如果还是难以消去 t, 就描点作图

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相轨迹每一点切线处的斜率为：$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}=\alpha$

奇点：平衡点$\frac{\ddot{x}}{\dot{x}}=\frac{0}{0}$, 斜率不定
斜率不定，则相轨迹方向任意，说明这是各个相轨迹交汇处.
奇点有可能是发射点也有可能是收敛点。当奇点为收敛点时，代表了系统的稳定工作状态.

对线性系统来说，只有一个平衡状态——即对应一个奇点，
但对于非线性系统来说，可能有多个平衡状态，即对应多个奇点。
根据奇点附近相轨迹变化，奇点可分为稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点

线性二阶系统的奇点分类：

• 焦点
  • 震荡收敛（二阶欠阻尼）（负实部共轭复根）
  • 震荡发散（二阶负阻尼$-1<\xi <0$)（正实部共轭复根）
• 节点
  • 单调收敛（二阶过阻尼）（两个负实根）
  • 单调发散（二阶负阻尼$\xi <-1$>>)（两个正实根）
• 中心点：到达不了（虚轴极点）
• 鞍点（一个正实根，一个负实根）

奇点分类

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等倾线法思路总结：

• $\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}=\alpha$画出的曲线上，如果相轨迹穿过这条曲线，那么穿越点处斜率一定为$\alpha$
• 通过绘制等倾线，我们可以知道任意一个地方的相轨迹斜率
• 等倾线法就是通过等倾曲线以及初始点，获得近似的相轨迹.
  • 例如我们从一个点$(x,\dot{x})$出发
  • 先看这个点位置的斜率，以及接下来到达的等倾线的斜率
  • 两个斜率取平均作为从这个点出发的斜率
  • 这个点以平均斜率出发到达下一个等倾线
  • 重复上述步骤

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极限环与自激振荡的稳定性：
当等倾线不是直线时，相轨迹可能到达一个闭合的环，代表了系统稳定的震荡.

极限环

半稳定极限环是不会稳定震荡的，总是会有微小的扰动偏离极限环，最后发散或者回到奇点.

自激振荡的稳定性：假如说系统到达了自激振荡点，如果带来一个扰动，系统能稳定回归到自激振荡点.
与系统稳定性是不同的概念。

同理极限环的稳定性是指能够稳定产生自激振荡，而非系统稳定.

在描述函数法中，$-\frac{1}{N(A)}$与$G(j\omega )$存在交点则存在自激振荡点，通过扰动使震荡幅值增大/减小来判断工作点能否回到自激振荡点.

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描述函数法

当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波（基波？) 分量来近似. 由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数.
描述函数用来分析无外力作用的情况下，非线性系统的稳定性和自震荡问题.

• 优点：不受系统阶次限制，可以分析频率特性
• 缺点：系统首先得适合近似，不可以分析时域特性

描述函数不用背，考试会给，但是应该需要会分析.

MyOpinion:
将非线性环节合成一个部分,
并简化为一个不改变正弦信号频率, 只改变幅值和相位的
不随时间改变的描述函数.（相当于复数增益的放大器）
分析情况：无输入时的系统自激振荡现象，即研究对象是单一频率正弦波（不含直流分量）

综上，通过限制信号为正弦信号以及对非线性环节近似，将一个非线性系统简化为了"线性时不变系统"，并使用频率法进行分析.

1. 系统结构一定是/一定能化成下述的形式.
   

   

   系统结构

2. 非线性部分的输入输出特性是不随时间改变的 x 的奇函数$f(x)$, 或者正弦输入下的输出为 t 的奇对称函数$y(t)$, 即输出不含直流分量，即非线性是对称的.
3. 线性部分 G 需要较好地滤除高频（来自非线性环节，这样可以更好地拟合）
4. 非线性元件只有一个正弦输入（系统自激振荡时，N 的输入也是正弦波）

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系统结构化简方法小总结：
当系统框图结构不满足描述函数法要求的结构时，需要进行化简.

• 利用相同特征方程进行化简：只是部分等效（传递函数极点相同）, 这样似乎只是判断稳定性（吧）
  • 求出$\mathrm{\Phi }(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$, 模块使用 N,G 表示
  • 取特征方程，即$\mathrm{\Phi }(s)$的分母
  • 化成$1+N{G}^{\prime }=0$的形式，$G^{\prime }$就是等效的
• 利用信号传递关系等效变换
  MyOpinion:
  关键点有 N 的输入端 xe(t),N 的输出端 yx(t), 以及系统输出端 Cc(t)
  找到从 y 出发回到 x 的回路，这个回路上所有的线性模块合并为右图的G(s), 这样可以画出来一个单位负反馈的环了.
  因为上面为了凑出来单位负反馈，把原来反馈回路的给合并到G(s)里了，所以找到从 y 到达 C 的部分，在G(s)引出负反馈的端口右边再填上补偿环节，让 y 到达 C 的传函满足原本的关系.

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描述函数$N(A,j\omega )=\frac{\dot{X_1}}{\dot{E}}=\frac{B_1}{A}+j\frac{A_1}{A}$
输出基波分量的复数相量/正弦输入的复数相量

1. 输入正弦信号
2. 获得输出信号（需要检验不含直流分量，含的话就不能用这个方法分析了）
3. 获得基波分量正弦信号 求$A_1,B_1,X_1,{\phi }_1$
4. 获得描述函数$N(A,j\omega )$
   当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与$\omega$无关，因此描述函数只是输入正弦信号幅值的函数$N(A)$

$$\begin{array}{rl}x(t)& =\frac{A_0}{2}+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A_i\cos i\omega t+B_i\sin i\omega t)\\ A_0& =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)d(\omega t)A_0\text{是直流分量}\\ A_i& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos i\omega td(\omega t)i=0,1,2,\cdots \\ B_i& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin i\omega td(\omega t)i=1,2,3,\cdots \\ Y_n& =\sqrt{A_n^2+B_n^2}\\ {\phi }_n& =\arctan \frac{A_n}{B_n}\end{array}$$

这里的$x(t)$是非线性环节的稳态输出.

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非线性系统简化

• 并联：描述函数线性相加
• 串联：图解法化简（有点像高中学的复合函数）

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描述函数法分析非线性系统稳定性
（描述函数分析非线性系统自激振荡）

1. 实际是线性系统频域分析方法的扩展，复杂程度依次为：
2. 线性系统恒定增益：一个点-1
3. 线性系统变增益：$-\frac{1}{K_1}\to -\frac{1}{K_2}$
4. 线性系统复数增益（描述函数）:$-\frac{1}{N{|}_{A=0}}\to -\frac{1}{N{|}_{A=\mathrm{\infty }}}$
5. 下述方法只适用于$G(s)$不具有右极点的情况，如果$G(s)$具有低通特性，则$G(s)$应当不具有右极点.

系统特征方式$1+N(A)G(j\omega )=0$
之前看 Nyquist 曲线与-1 点之间的关系判断稳定性.
现在看 Nyquist 曲线与曲线$-\frac{1}{N(A)}$的关系

MyOpinion: 之前是固定了一个点，看奈氏曲线是否包围这个点 (-1,0) 判稳. 现在是一个点集，对于每一个点，分别看奈氏曲线是否包围这个点.
当曲线包围点 P 时，系统不稳定，幅值将增大.
当曲线不包围点 P 时，系统稳定，幅值将减小.
当曲线穿过点 P 时，系统临界稳定，处于等幅振荡状态.

• 奈氏曲线 A（此处记为曲线${\mathrm{\Gamma }}_G$) 不包围负倒描述函数曲线 B（此处记为曲线${\mathrm{\Gamma }}_N$), 系统总是稳定
• A 包围 B, 系统总是不稳定
• A 与 B 有交点，交点处是系统周期运动的点，$G(j\omega )$确定频率，$-\frac{1}{N(A)}$确定幅值.

  计算方法之一：实部对应相等，虚部对应相等

判断周期运动是否稳定（是否是稳定的自激振荡点）:

• 给一个小扰动
• 交点 P 移动到点 Q
• 看点 Q 是否被奈氏曲线包围，判断稳定性
  • 不稳定，震荡幅值将增大
  • 稳定，震荡幅值将减小
• Q 点沿着负倒描述函数曲线幅值 A 增大的方向走，看看能不能回到 P 点

结论：
${\mathrm{\Gamma }}_G$包围区域是不稳定区域，不包围的区域是稳定区域，曲线上是等幅振荡的临界区域.
${\mathrm{\Gamma }}_N$与${\mathrm{\Gamma }}_G$相交时，如果沿着 A 增加的方向，从不稳定区域进入稳定区域，则交点处对应稳定的周期运动；从稳定区域进入不稳定区域，则交点处对应不稳定的周期运动.