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第二章 控制系统的数学模型

1 列微分方程

电感 u=LdidtUI=sL

电容 i=CdudtUI=1sC

此外,阻尼 好像是一个挺常见的概念,但是没学过. 我觉得可以理解成一个和速度成正比的阻力.

  • 虎克定律:弹力 f=kx
  • 粘性摩擦定律:粘性摩擦力 f=kx˙

2 拉氏变换获得传递函数

(完整版) 拉氏变换常用公式 - 百度文库
常用拉氏变换表

  • 实位移 f(tτ)eτsF(s)
  • 复位移 eatf(t)F(s+a)
  • 终值定理
    使用终值定理的条件是:系统的极点都在复平面的左边 (首先要有终值,求出的终值才是有意义的,否则好像是平均值?)

2.1 一个问题

系统的单位阶跃响应为:y(t)=1e2t+2te2t
则系统的单位脉冲响应为:y(t)=4e2t4te2t
而非:y(t)=δ(t)+4e2t4te2t

为什么 1 求导是 0 而不是δ(t), 我觉得可以这样理解:

  • 这里的 1 是全实域的常数 1, 只不过一般我们只关心 t>0 的时刻
  • 如果 1 是阶跃,会标明 ε(t)
  • G(s) 分母阶数等于分子阶数时,才会出现输出有阶跃/冲击 (吧)

自控里只关心 t>0 的信号,拉氏变换采用的是 "单边拉氏变换" F(s)=0f(t)estdt
所以这是一个比较 tricky 的点,我们总说阶跃信号的拉氏变换为 1s
但是对于常数 1, 拉氏变换也会得到 1s
所以 1s 反变换得到的 1, 是阶跃还是常数 1?
可能这是为什么会有开头那个问题。

3 控制理论的一些基本概念

传递函数Φ(s)增益或者传递系数, 即放大信号的倍数,假设输入信号是一个常值(阶跃信号1s), 根据中值定理,lims0s1sΦ(s)=lims0Φ(s)

因此我们把传递函数里的 s 都置零后得到的常数就称为增益. (对于分母有 sv 的,忽略掉这部分)

开环传递函数的是开环增益, 闭环传递函数的是闭环增益. 一般我们把传递函数写成尾一式、归一式,那么分子的 K 就是增益值.

另外还有一个概念,专门针对开环传递函数写成首一式时的 K, 称为根轨迹增益.

4 上课笔记


EXAM NOTIFICATION
考试不考结构图化简
梅森增益公式一道大题 10 分,信号流图/结构图直接写梅森增益公式.(详见笔记相关内容.)

三种传递函数的形式(求开环增益:去掉积分环节,s 趋向 0 时的常数)

  • 一般式
  • 零极点式/首一式:根轨迹增益
  • 时间常数式:频率特性,增益

微分方程与传递函数互相推导.
(n 阶微分就是 sn, 唯一需要注意的可能就是初始值不为零时,由微分方程求传递函数,最下面有微分定理sF(s)f(0))

英语单词
零点 zero
极点 pole
特征根 characteristic root
特征方程 characteristic equation
传递函数 transfer function
频率特性 frequency characteristic


系统建模的方法

  • 解析法:了解系统的原理,列出微分方程
  • 实验法:施加测试信号,利用数学模型逼近

要注意传递函数的负载效应问题。要在系统正常工作的情况下建立系统模型。

图片想说明的意思是,我们可以先画出系统的原理图/工作框图,弄清楚各个部分之间的关系.
然后有两条路径,第一条是列元件的微分方程组,求解之后拉氏变换为传递函数.
第二条是根据元部件传递函数,列出系统框图,根据梅森增益公式求出系统传递函数(显然应该使用这种方法)


数学模型的类别:

  • 时域:
    • 微分方程
    • 差分方程
    • 状态方程
  • 复数域
    • 传递函数
    • 结构图
  • 频域
    • 频率特性

传递函数

  • 复变量 s 的有理真分式函数,mn, 分母阶数不大于分子阶数,且所有系数均为实数.
  • 只取决于系统本身的结构与参数,与输入量无关.
  • 可以与微分方程互相转化。零初始条件下,只需要微分方程的算符ddt与 s 转换,就可以了.
  • 反变换是冲激响应

传递函数的局限性:
只能表示线性定常系统
适合描述单输入单输出
原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息


注意,后面讲的所有内容都有一个前提:系统是线性定常系统
微分方程的形式需要满足:

  1. 每一项都是输入/输出的本身或者 n 阶导数(一阶),没有(不同阶数的)交叉乘积项,没有(同一阶数的)平方(二阶)等高次项,也没有常数(零阶)。
  2. 每一项的系数恒定

世界上没有线性系统,只有泰勒级数一阶展开。

非线性微分方程的线性化:切线法/小偏差法
(泰勒级数一阶展开,泰勒级数展开略去 2 阶及以上)
f(x)f(x0)=(df(x)dx)x0(xx0)
即线性化方程为y=(df(x)dx)x0x.


运动的模态/线性微分方程解的类型
线性微分方程的解=特解(输入决定)+通解(系统本身决定)
通解形式:每个微分方程特征根对应一种模态/振型,通解是所有特征根对应模态的和。

  • 实数单根 eλit
  • 实数重根 tneλit
  • 共轭复根 e(σ+jω)t=eσt(cos(ωt)+sin(ωt))

从拉普拉斯变换式/传递函数的角度理解(零极点):

H(s)=C1sλ1+C2sλ2+...+Cnsλn
  • 极点,特征根:λi
  • 模态,振型:eλit

极点决定了组成输出的信号的基本类型(指数衰减,三角函数等)
零点影响了每种模态的系数ak,零点越接近虚轴,对应分量系数越大。具体原因似乎是是留数法过程中的一些影响,但是留数法怎么求我忘了,以后有时间可以分析一下。


开环传递函数_百度百科
闭环传递函数_百度百科

  • 开环传递函数:
    • 开环传递函数是指一个开环系统(没有反馈的系统)的输出与输入之比与频率的函数关系,即系统的频率域特性。
    • 也可以指一个闭环系统反馈量输出与输入之比与频率的函数关系。G(s)H(s)(似乎使用G0表示)
  • 闭环传递函数:在负反馈闭环系统中,假设系统单输入 R(s); 单输出 C(s), 前向通道传递函数 G(s), 反馈为负反馈 H(s)。此闭环系统的闭环传递函数为 G(s)1+G(s)H(s),可以表示为Φ(s)

小结论:对于单位负反馈

H(s)=G(s)1+G(s)=ab1+ab=aa+b=11G(s)+1

根据所需要的形式快速获得结果。


系统传递结构(?)表达方式:

  • 控制系统的(典型)结构图
    • 有向线条代表信号
    • 方框代表传递函数
    • 求和点(圆圈里面是叉号)
  • 信号流图
    • 小圆圈代表信号
    • 有向线条代表传递函数
    • 利用传递函数正负代表求和

如果从结构图画信号流图,一个比较稳的方法是:把系统结构图中的框都变成线,把线都变成圈。
然后支路增益为 1 的相邻两个节点可以合并成一个节点(除了源节点和输出节点)

为什么要画信号流图?因为通过信号流图可以列写出梅森增益公式,可以方便地获取到某一个输入与某一个输出之间的传递函数
但其实也可以直接从典型结构图直接列写梅森增益公式

  • 通过典型结构图求传递函数
    • 先化简,然后照着回路列输入输出关系,消除中间变量(化简太麻烦,不推荐!可以参考课本例题2-18,不过我感觉有一个好处就是,结构图不是很复杂的话,照着信号传递列式子,可以直接获得多输入输出的关系式)√
    • 列梅森增益公式√√√
  • 通过信号流图求传递函数
    • 列梅森增益公式√√

总而言之,言而总之,这部分知识点主要是通过结构图/信号流图列出输入输出关系就可以了!(简化系统函数的计算)

另外梅森增益公式求的是某一个输入与某一个输出之间的关系(换言之也是求出了指定输入的输出),如果想要求输入R(s)与扰动N(s)共同作用的输出,则采用叠加定理,将彼此分别置零后,求出的两个输出叠加在一起。

感觉这样的过程挺不错的

过程举例

考试方法总结!
求梅森增益公式(包括根据结构图直接写)的方法归纳:

一个遍历方法:define F(node,condition):
从一个点 node 出发,遇到分叉就分叉,走到终点(满足 condition, 不能再继续走下去,可能是满足了所需要求,可能是不符合梅森增益公式中路径要求不重复走走过的结点的要求)就结束 return,最终遍历出所有路径.
称之为方法 F(node,condition)

  1. 求 L
  2. 找到每一个有输入的结点(混合结点)node
  3. F(node, 组成一个闭合回路)
  4. Δ
  5. 求 P: F(node, 到达目标节点)

根据结构图直接写梅森增益公式的一个难点在于,sum 不好处理,其实可以把 sum 当做一个信号/结点
其他地方则是数据线当做一个结点,方框当做一个线


传递系数的定义:(如果G(s)为开环传函)

K0=lims0srG(s)=Ki=1m(zi)j=1n(pj)=b0a0

(上面应该是除去所有的零极点pj的连乘)

特殊地,如果如果G(s)为开环传函:
零极点形式的 K,叫做根轨迹增益;
时间常数形式的K0,叫做开环比例系数。

求开环增益/开环比例系数时,直接使 s 趋向 0 求极限即可.
求根轨迹增益时,直接使各个乘积项尾部为 1, 提出的系数合在一起就可以了.


题干中给c(t)=1e2t+et,r(t)=1(t)
求冲激响应k(t).
有一个想法是,直接对c(t)求导,似乎就是结果。
有个陷阱是,没有说明初始状态是不是零状态!就比如说对 1 求导,可能是恒值 1(结果为 0),也可能是阶跃信号1(t)(结果为δ(t)),或者其他。
因此,遇到这种问题,一定要使用拉氏变换求解(不受初始状态影响),Φ(s)=C(s)R(s),然后反变换获得冲激响应。


拉氏变换
F(s)=0f(t)etsdt
f(t)=12πjσjσ+jF(s)etsds

常见函数 f(t) F(s)
单位脉冲 δ(t) 1
单位阶跃 1(t) 1/s
单位斜坡 t 1/s2
单位加速度 t2/2 1/s3
指数函数 eat 1/(s+a)
正弦函数 sinωt ω/(s2+ω2)
余弦函数 cosωt s/(s2+ω2)

反变换:

  1. 公式法
  2. 查表法/分解部分分式法
  3. 试凑法
  4. 系数比较法
  5. 留数法

留数法之前复变函数证明过,回来有机会再整理吧.
其实挺好理解的。(题目中遇到的似乎都很简单!)
C1=1(m1)!limspid(m1)ds(m1)[(spi)mF(s)]

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